ODKAZY V ČLÁNKU
HODNOCENÍ ČLÁNKU
přečteno:  3368krát
přečteno:  1019uživateli
1 nejhorší - 10 nejlepší
-1--2--3--4--5- -6--7--8--9--10-
hodnocení=[5.8]
REAKCE NA ČLÁNEK
vstup do fóra
ovesnavlocka
2012-11-20 16:10:58
Chyba v Newton fraktálech
Jirka
2012-12-15 00:16:20
Výmluva :-)
LIKE TLAČÍTKO
Newtonovy fraktály s komplexní mocninou

Newtonovy fraktály

1 Newtonova metoda tečen

1.1 K čemu to je?

Newtonova metoda je jedním ze způsobů, jak numericky vypočítat rovnici typu f(x)=0, x je reálné číslo. Existují samozřejmě i jiné metody řešení takovýchto rovnic. Newtonova metoda velice rychle konverguje - viz 1.2, nevýhodou je, že když máme složitější funkci, musíme přibližně vědět, kde se kořen nachází - o tom je odstavec 1.3.

1.2 Popis metody

Jak funguje Newtonova metoda, je vidět na obrázku č.1.
1. Zvolíme počáteční bod x1.
2. Vedeme z bodu o souřadnicích (x1,f(x1)) tečnu ke grafu funkce, a místo, kde se protne s osou x, označíme x2.
3. Vedeme z bodu o souřadnicích (x2,f(x2)) tečnu ke grafu funkce, a místo, kde se protne s osou x, označíme x3.
4 - n. Iterujeme do zblbnutí (matematici) nebo do požadované přesnosti (fyzici), až se dostaneme velice blízko ke kořenu funkce r.

Obrázek č.1: Newtonova metoda tečen

1.3 Nevýhody metody

Pokud neznáme přibližně, kde se kořen nachází a máme složitější funkci, je problém ke kořenu dokonvergovat z následujících důvodů:

  • 1. Divergence směrem od kořenu, viz obrázek č.2. Na obrázku máme maximum, funkce je na levé straně od maxima rostoucí a protíná nulu. Na pravé straně od maxima je funkce klesající a jen konverguje k nule a nulu nikdy neprotíná. Když zvolíme počáteční bod NM na pravé straně od maxima, metoda nám nikdy nedokonverguje ke kořenu.
  • 2. Nešťastně zvolíme počáteční bod v minimu nebo maximu funkce, viz obrázek č.3.
  • 3. Metoda se zacyklí, viz obrázek č.4, to se stane, pokud je kořen funkce v inflexním bodu funkce.
Obrázek č.2: Divergence směrem od kořenu

Obrázek č.3: Spadnutí do minima funkce

Obrázek č.4: Zacyklení metody

2 Newtonovy fraktály

Newtonův fraktál vznikne, pokud necháme konvergovat komplexní funkci pomocí Newtonovy metody s počátečním číslem z komplexní roviny ke kořenu funkce. Fraktál se utvoří díky nevýhodám Newtonovy metody, a to kvůli nevýhodě č.1. Část počátečních bodů nedokonverguje a část dokonverguje. Když vyneseme počáteční body, které dokonvergovaly, do grafu (komplexní roviny), vytvoří se nám fraktální obrazce.

3 Jak jsem generoval a barvil fraktály

Já jsem své fraktály generoval v programovacím jazyce pro děti PASCALU, obarvil jsem modrou barvou oblast nejrychlejší konvergence postupně přes červenou, přes světlé barvy, až k tmavým barvám - oblast nejpomalejší konvergence (postupně standardní barvy v Pascalu 1 až 128). Barevná škála je vidět na obrázku šnek 1 - na okraji šneku modrá funkce konverguje nejrychleji, až uprostřed šneku funkce konverguje po více než 128krocích k výsledku s danou přesností. Zajímavostí je, že generování fraktálu o rozlišení 2048*1536 trvalo na počítači o výkonu 2GHz (procesor Intel), pamětmi DDR2 asi 30minut.

4 Klasické Newtonovy fraktály

Jen na ukázku (tohle umí každý).

f(z)=z3-1


f(z)=z9-1


3 Newtonův Fraktál s komplexním kořenem

Trochu zajímavější. Každý přívěsek řetízku je bod konvergence. Je zde zas nekonečně mnoho přívěsků na řetízku. Každý přívěsek má na sobě další řetízky spojené do kruhu a takto se fraktál opakuje.

f(z)=(z+0.5i)(z-0.5i)(z-1)


4 Newtonův fraktál s komplexní mocninou

f(x) = z4i-1

Zde jsou ohromně zajímavá centra nejvzdálenější konvergence, vždy ve středu šneka (spirály).



Celá komplexní rovina - střed obrazovky je počátek souřadnic.


Šnek 1 - vybraná část z "celé komplexní roviny"



Šnek 2 - vybraná část z obrázku Šnek 1



Šnek 3- Vybraná část z obrázku Šnek 2



Zvětšenina jedné z malých teček (asi 1 pixel) na obrázku celé komplexní roviny


[1] obrázek č.1 jsem převzal z: http://faculty.wlc.edu/buelow/calc/nt4-8.html
[2] obrázky č.2, 3, 4 jsem převzal z: http://en.wikiversity.org/wiki/Newton's_Method
Vytvořeno: 2011-10-19 20:45:46    Změněno: 2011-10-28 22:09:18  Důležitost: 10 Přečteno: 1019  Hodnocení: 6

nejhorší 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10nejlepší | hodnocení:5.8
Rád zodpovím ve fóru všechny vaše dotazy, budu rád i za jakoukoli kritiku.
NAPIŠ REAKCI NA ČLÁNEK - VSTUP DO FÓRA
vyrobeno Kráťou
Sportovní výživa Extrifit pro silové sporty